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DU NOUVEAU SUR EXOS UVCI





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EXERCICES EN ALGÈBRE
NB: tous les exercices sont corrigés sur la fiche


Effectuer la division euclidienne de par :
(a)    3X5+4X2+1X2+2+3
(b)   3X5+2X4X2+1X3++2
(c)    X4X3+2X22+4
(d)   X57X4X29+9X25+4
EXOS 14

 Déterminer les pgcd des polynômes suivants :
(a)    X3X22 et X52X4+X22
(b)   X4+X32+1 et X3++1
(c)    X5+3X4+X3+X2+3+1 et X4+2X3++2



EXOS 16

D´eterminer les racines complexes des polynômes a` coefficients réels suivants :
1.  2X− + 1,
2.  X− 13X+ 36,
3.    X+ 6X+ 25.
EXOS 17

Soit X− 3X+ 2X− 4+ 8 R[X].
1.      Vérifier que 2 est racine double de P.
2.      En déduire une factorisation de en produit de facteurs irréductibles dans R[X].



















Exercices sur les tableaux en algorithme

Exercices 1

Soit T une matrice carrée de 3 lignes et 3 colonnes. 
• Ecrire un algorithme qui 
– Lit T puis 
– Affiche un message informant si la matrice est symétrique ou pas
Correction exercices 1
Pour la lecture de T 
Pour i = 1 à 3
 Pour j = 1 à 3 
  Lire ( T(i,j) ) 
Fin Pour
 Fin Pour

Exercices 2
Ecrire un algorithme qui trouve la plus grande valeur dans ce tableau multidimensionnel. 
nbres = [[0, 18], [1, 45], [45, 48], [-3, 2]]


Correction exercices 2
Nb: voir correction déraillée sur la fiche
  
DEBUT
                    Nbres=[[0,18],[1,45 ], [ 45,48], [-3,2 ]]
    Top = 0
                          POUR i = 1 JUSQU’A 2 FAIRE
                             POUR J = 1 JUSQU’A 2 FAIRE
                         SI nbres[i][j] > top ALORS
SI nbres=[i][j]
       FINSI
  FINPOUR
FINPOUR ECRIRE ‘La plus grande valeur : ‘,top
FIN





Exercice 3

Ecrire un algorithme permettant  de saisir 5 réelles au clavier,les stocker dans un tableau, calculer leur somme et les afficher avec leur somme à l’ecran.Correction exercices 3
Algorithme  tableau_somme;
Var
              V   : tableau [1..5] de réels ;
              S   :  réel ;
i  :entier;
Debut
                (*lecture  des élements  du tableau*)
                Pour i < --  1 à 5 faire
                               Ecrire(‘entrer l’element  N° ’,i);
                               Lire(V[i]) ;
                Finpour i
                (*calcul de la somme des élements du tableau *)
                S < -  0 ;
Pour i < --  1 à 5 faire
                               S < -  S + V[i] ;
                Finpour i
(*afficher des éléments du tableau *)
                Pour i < --  1 à 5 faire
                               Ecrire(‘l’’element  N° ’,i,’est : ‘,V[i]);
                Finpour i
                Ecrire(‘la somme des éléments du tableau est :‘,S) ;
fin




Exercice 4 
Ecrire un algorithme permettant  de saisir et d’afficher N éléments d’un tableau.
Correction exercices 4
Algorithme  saisie_affichage;
Var
              T   : tableau [1..100] de réels ;
              N,i   :  réel ;
Debut
                Ecrire(‘entrer le nombre d’éléments du tableau :’) ;
                Lire(N) ;
                (*lecture  des élements  du tableau*)
                Pour i < -  1 à N faire
                               Ecrire(‘entrer l’element  N° ’,i);
                               Lire(T[i]) ;
                Finpour i
(*afficher des éléments du tableau *)
                Pour i < --  1 à N faire
                               Ecrire(‘l’’element  T[’,i,’] est : ‘,T[i]);
                Finpour i
Fin


Exercices corrigés en arithmétique dans Z














EXOS 1

  Combien 15! admet-il de diviseurs ?

EXOS 2

Sachant que l’on a 968  42 = 256×375+842, déterminer, sans faire la division, le reste de la division du nombre 96842 par chacun des nombres 256 et 375.

EXOS 3

Calculer le pgcd de 61542 et 6514.

EXOS 4

Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carrés d’entiers alors le reste de la division euclidienne de n par 4 n’est jamais égal à 3.
 EXOS 5

Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair; dans le cas n pair, donner le reste de sa division par 8.
 EXOS 6 
1.Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré de tout nombre impair est 1.
2.Montrer de même que tout nombre pair vérifie x 2 = 0 (mod 8) ou x 2 = 4 (mod 8).
3. soient a, b, c trois entiers impairs. 
Déterminer le reste modulo 8 de a 2 +b 2 +c 2 et celui de
 2(ab+bc+ ca). 
4.En déduire que ces deux nombres ne sont pas des carrés puis que ab+bc+ca non plus
  EXOS 7 

Déterminer les couples d’entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360. De même avec pgcd 18 et produit 6480.
 EXOS 8

Résoudre dans Z : 1665x+1035y = 45.
 EXOS 9

Calculer par l’algorithme d’Euclide : pgcd(18480,9828). En déduire une écriture de 84 comme combinaison linéaire de 18480 et 9828
  CORRECTION


 EXOS 1

Écrivons la décomposition de 15! = 1 ´ .2.3.4 . . . 15 en facteurs premiers. 15! = 2 11 .3 6 .5 3 .7 2 .11.13. Un diviseur de 15! s’´écrit d = 2α .3 β .5 γ .7 δ .11ε .13η avec 0  α  11, 0   β  6, 0    γ  3, 0    δ    2, 0   ε   1, 0   η    1. De plus tout nombre d de cette forme est un diviseur de 15! . Le nombre de diviseurs est donc (11+1) (6+1) (3+1) (2+1) (1+1) (1+1) = 4032.
 EXOS 2

 Par divisions euclidiennes successives, on obtient :
61542 = 9 × 6514 + 2916 ;
6514 = 2 × 2916 + 682 ;
2916 = 4 × 682 + 188 ;
682 = 3 × 188 + 118 ;
188 = 1 × 118 + 70 ;
118 = 1 × 70 + 48 ;
70 = 1 × 48 + 22 ;
48 = 2 × 22 + 4 ;
22 = 5 × 4 + 2 ;
4 = 2 × 2 + 0.
Le pgcd de 61542 et 6514 est le dernier reste non nul, c'est-à-dire 2.
 EXOS 3

 Correction de l’exercice 1 N La seule chose à voir est que pour une division euclidienne le reste doit être plus petit que le quotient. Donc les divisions euclidiennes s’écrivent : 96842 = 256×378+74 et 96842 = 258×375+92.
 EXOS 4

 Il suffit de constater que pour 4 nombres consécutifs il y a nécessairement : un multiple de 2, un multiple de 3, un multiple de 4 (distinct du multiple de 2). Donc le produit de 4 nombres consécutifs est divisible par 2×3×4 = 24.
  EXOS 5

 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair; dans le cas n pair, donner le reste de sa division par 8.
 EXOS 6

 1.Soit n un nombre impair, alors il s’écrit n = 2p + 1 avec p  N. Maintenant n 2 = (2p + 1) 2 = 4p 2 + 4p+1 = 4p (p+1) +1.
 Donc n 2 ≡ 1 (mod 8).
 2.Si n est pair alors il existe p  N tel que n = 2p. Et n 2 = 4p 2. Si p est pair alors p 2 est pair et donc n 2 = 4p 2 est divisible par 8, donc n 2 ≡ 0 (mod 8). Si p est impair alors p 2 est impair et donc n 2 = 4p 2 est divisible par 4 mais pas par 8, donc n 2 ≡ 4 (mod 8).
 3.Comme a est impair alors d’après la première question a 2 ≡ 1 (mod 8), et de même c 2 ≡ 1 (mod 8), c 2 ≡ 1 (mod 8). 
Donc à 2 +b 2 +c 2 ≡ 1+1+1 ≡ 3 (mod 8). Pour l’autre reste, écrivons a = 2p+1 et b = 2q+1, c = 2r +1, alors 2ab = 2(2p+1) (2q+1) = 8pq+4(p+q) +2. 
Alors 2(ab+bc+ca) = 8pq+8qr +8pr +8(p+q+r) +6, donc 2(ab+bc+ca) ≡ 6 (mod 8).
 4.Montrons par l’absurde que le nombre à 2 + b 2 + c 2 n’est pas le carré d’un nombre entier. Supposons qu’il existe n  N tel qu’a 2 +b 2 +c 2 = n 2. Nous savons qu’a 2 +b 2 +c 2 ≡ 3 (mod 8). Si n est impair alors n 2 ≡ 1 (mod 8) et si n est pair alors n 2 ≡ 0 (mod 8) ou n 2 ≡ 4 (mod 8). Dans tous les cas n 2 n’est pas congru à 3 modulo 8. Donc il y a une contradiction. La conclusion est que l’hypothèse de départ est fausse donc à 2 + b 2 + c 2 n’est pas un carré. Le même type de raisonnement est valide pour 2(ab+bc+ca). Pour ab+bc+ca l’argument est similaire : d’une part 2(ab+bc+ca) ≡ 6 (mod 8) et d’autre part si, par l’absurde, on suppose ab+bc+ca = n 2 alors selon la parité de n nous avons 2(ab+bc+ca) ≡ 2n 2 ≡ 2 (mod 8) ou à 0 (mod 8). Dans les deux cas cela aboutit à une contradiction. Nous avons montré que ab+bc+ca n’est pas un carré
  EXOS 7

 Soient a, b deux entiers de pgcd 18 et de somme 360.
Soit a’, b’ tel que a = 18a’ et b = 18b’. Alors a ’et b’ sont premiers entre eux, et leur somme est 360/18 = 20. Nous pouvons facilement énumérer tous les couples d’entiers naturels (a ‘, b ‘ ) (a’  b’) qui vérifient cette condition, ce sont les couples :
 (1,19), (3,17), (7,13), (9,11).
Pour obtenir les couples (a, b) recherchés (a  b), il suffit de multiplier les couples précédents par 18 :
 (18,342), (54,306), (126,234), (162,198).
  EXOS 8

 En divisant par 45 (qui est le pgcd de 1665, 1035,45) nous obtenons l’équation équivalente :
37x+23y = 1 (E) Comme le pgcd de 37 et 23 est 1, alors d’après le théorème de Bézout cette équation (E) a des solutions.
 L’algorithme d’Euclide pour le calcul du pgcd de 37 et 23 fourni les coefficients de Bézout : 37 × 5 + 23 × (−8) = 1. Une solution particulière de (E) est donc (x0, y0) = (5, −8). Nous allons maintenant trouver l’expression générale pour les solutions de l’équation (E).
Soient (x, y) une solution de l’équation 37x+23y = 1. Comme (x0, y0) est aussi solution, nous avons 37x0 +23y0 = 1. Faisons la différence de ces deux égalités pour obtenir 37(x−x0) +23(y−y0) = 0. Autrement dit 37(x−x0) = −23 (y−y0) () On en déduit que 37|23 (y−y0), or pgcd(23,37) = 1 donc par le lemme de Gauss, 37| (y−y0). (C’est ici qu’il est important d’avoir divisé par 45 dès le début !) Cela nous permet d’écrire y−y0 = 37k pour un k  Z. Repartant de l’égalité () : nous obtenons 37(x  x0) = 23 × 37 × k. Ce qui donne x  x0 = 23k. Donc si (x, y) est solution de (E) alors elle est de la forme : (x, y) = (x0 −23k, y0 +37k), avec k  Z. Réciproquement pour chaque k  Z, si (x, y) est de cette forme alors cest une solution de (E) (vérifiez-le !). Conclusion : les solutions sont  (5−23k, −8+37k) | k  Z.
   EXOS 9

 1. pgcd(18480,9828) = 84;
2. 25×18480+ (−47) ×9828 = 84

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