BIENVENUE SUR VOTRE BLOG D'EXERCICES DE L'UNIVERSITE VIRTUELLE

EXERCICES EN ELECTRONIQUE NUMÉRIQUE









EXERCICES EN ELECTRONIQUE NUMÉRIQUE

EXOS 1
1. Algèbre de Boole
Démontrer les lois de l’algèbre de Boole suivantes en vous aidant des autres lois de cet algèbre :
• a.1 = a
• a+0 = a
• a.(a+b)= a
• a+(a.b)= a
• a.b = a+b
• a+b = a.b
2. Démontrer que :
• a⊕1 = a
• a⊕b⊕(a.b)= a+b
• a⊕a = 0

CODAGE
EXOS 2
1. Codage Base 2
Coder en base 2 les nombres décimaux suivants:
• 1024
• 345
• 12
2. Codage Base 16
Coder en base 16 les nombres binaires suivants:
• 100101
• 11110000
• 10101010
3. Codage Base 16
Coder en base 16 les nombres décimaux suivants:
• 10
• 16
• 458
4. Codage DCB
Coder en DCB les nombres
• 5
• 55
• 128

5. Codage ASCII : nombres
Sachant que le code ASCII de 0 vaut 30H coder en ASCII les nombres
• 31
• 3
• 458

EXOS 3
Démontrer les relations suivantes en utilisant les règles de calculs de l’algèbre de Boole
x + x • y = x

x + x • y = x + y x •(x + y) = x x •(x + y) = x • y

x • A+ x • B + A• B = x • A+ x • B

(x + A)•(x + B)•(A+ B) = (x + A)•(x + B)

Exercice 2
Ecrire les expressions logiques simplifiées des fonctions F et G définies par les tables de vérités suivantes :















EXOS 4
Simplifier les fonctions logiques suivantes en utilisant la méthode des tables de Karnaugh:

f1 = a •b + a •b• d + a •b•c • d

f2 = a •b•c + a •c • d + a •b• d + a •c + b•c • d

f3 = a •b • c + c • d • a + a •b • c • d



Correction des exercices
Exercice 1 :
L’exercice se résout en utilisant les propriétés des lois ET et OU (paragraphes 1.2.1 et
1.2.2)
a) x+ x• y=x• (1+ y) =x

b) x+ x• y=(x+ x)•(x+ y)=x+ y en utilisant la propriété de distributivité du OU par
rapport au ET
c) x•(x+ y)=x• x+ x• y=x+ x• y=x•(1+ y)= x

d) x•( x + y)= x• x+ x• y= x• y
d) Il s’agit de la première relation du consensus

x• A+ x• B+ A• B= x• A+ x• B+ A• B•(x+ x)

= x• A+ x• B+ A• B• x+ A• B• x

= x• A(1+ B)+ x• B(1+ A)

= x• A + x• B
e) On applique le théorème de De Morgan à la relation précédente en effectuant la

transformation x→x, x→x, A→ A, B → B, +→• et •→+ ce qui donne :

(x+ A)•(x+ B)•(A+ B)=(x+ A)•(x+ B)
On retrouve bien l’expression cherchée. Pour s’en convaincre il suffit de réécrire cette

expression avec le changement de variables x→ y, x→ y, A →C, B →D on obtient alors

(y+C)•(y+ D)•(C + D) =(y+C)•(y+ D)


Exercice 2 :
Pour obtenir l’expression algébrique d’une fonction logique à partir de sa table de vérité il suffit de faire la somme logique des différentes combinaisons des variables pour lesquelles la fonction vaut 1.
a) La fonction F =1 si x =0ET y =0ET z =1 OU x =0ET y =1ET z =0 OU x =1ET y =0ET z =1 OU x =1ET y =1ET z =1. Ce qui se traduit mathématiquement par :

F = x• y• z+ x• y• z + x• y• z+ x• y• z
On peut simplifier cette expression pour obtenir
F = x• y• z+ x• y• z + x• y• z+ x• y• z
= y• z•(x + x)+ x• y• z + x• y• z
= y• z+ x• y• z + x• y• z

b) La fonction G =1 si x =0ET y =0ET z =0 OU x =0ET y =0ET z =1 OU x =1ET y =0ET z =0 OU x =1ET y =0ET z =1. Ce qui se traduit mathématiquement par :

G= x• y• z + x• y• z + x• y• z + x• y• z
On peut simplifier cette expression pour obtenir
= x• y+ x• y
= y•(x + x) = y


Exercice 3
1. Il faut d’abord remplir une table de Karnaugh. On rappelle qu’une table de Karnaugh est une table de vérité dans laquelle on passe d’une case à une case adjacente en ne changeant la valeur que d’une seule des variables logiques ! Pour remplir cette table il est possible de calculer la valeur de la fonction f1 pour chacune des seize combinaisons possibles des variables a, b, c et d. En pratique, il est cependant beaucoup plus rapide de considérer séparément chacun des termes de l’expression de f1 et d’en déduire les combinaisons pour lesquelles la fonction f1

vaut 1. Ainsi dans l’expression f1 = a •b + a •b• d + a •b•c • d

• le terme a•b implique que f1 =1 lorsque a=1 et b=0. On peut donc remplir la quatrième colonne de la table de Karnaugh suivante avec des 1.

• le terme a •c • d implique que f1 =1 lorsque a=1 , b=1 et d =0 . On peut donc mettre 1 sur la première et la quatrième ligne de la troisième colonne.

• le terme a •c •c • d implique que f1 =1 lorsque a=1 , b=1, c=0 et d =1. On peut donc mettre 1 sur la deuxième ligne de la troisième colonne.
On obtient ainsi très rapidement la table de Karnaugh

A partir des trois regroupements proposés la fonction f1 s’écrit f1 = a•d + a•c + a•b


2. On procède de la même façon pour la fonction f2 dont une table de Karnaugh s’écrit :


Avec les regroupements proposés la fonction f2 se simplifie sous la forme :

f2 =a•c+a•c+c•d
Dans cet exemple d’autres regroupements sont possibles qui aboutissent à une expression différente de f2 .




On obtient alors f2 =a•c+a•c+a•d .
Les deux expressions de f2 sont rigoureusement équivalentes et l’on passe de l’une à l’autre en appliquant les règles de l’algèbre de Boole. En effet
f 2 =a • c+ a • c+c • d
=a • c+ a • c+c • d + a • d (relation du consensus)

=a • c + a • c+ a • d +c • d
=a • c + a • c+ a • d (relation du consensus)

3. Pour la fonction f3 une table de Karnaugh s’écrit :




On obtient alors l’expression simplifiée f3 =a •b•c+a •b• d




EXOS 5
Effectuer les conversions suivantes:
a. (7852)10 en base hexadécimal puis en binaire.
b. (1101001011)2 en hexadécimal puis en décimal
c. (2EA)16 en binaire puis en décimal.

EXOS 6
On représente des entiers signés sur 16 bits.
1. Quel est le plus grand entier positif que l'on puisse écrire? Quel est le plus petit entier négatif que l'on puisse écrire?
2. Ecrire, en valeur absolue, les entiers précédents en base hexadécimal et décimal.
3. Donner les compléments à 1 et 2 de l'entier le plus grand.

EXOS 7
Effectuer les opérations suivantes en complément à 2 sur 8 bits. Vérifier les résultats et indiquer les éventuels débordements. Comment peut on détecter que le résultat est faux ? a. 125 – 26
b. 105 + 35
c. 40 – 60
d. - 38 – 96

2.5. Correction des exercices

Exercice 1
1. on applique la méthode exposée dans le paragraphe 2.1.2
7852 = 16 x 490 + 12 =16 x 490 + C C
490 = 16 x 30 + 10 = 16 x 30 + A A
30 = 16 x 1 + 14 = 16 x 1 + E E
1 = 16 x 0 + 1 1
soit (7852)10 = (1EAC)16
la conversion vers la base 2 est immédiate : (1EAC)16 = (1 1110 1010 1100)2
2. Vers la base hexadécimale ( {1101001231011{)2 =(34B)16
3 4 11=B
Par ailleurs (34B)16 = 3 x 162 + 4 x 161 + 11 x 160 = (843)10
3. (2EA)16 = 2 x 162 + 14 x 161 + 10 x 160 = (746)10
et ({2 {E {A )16 =(1011101010)2
10 01001010
Exercice 2.
1. Les entiers étant signés un bit est nécessairement consacré au signe (celui le plus à gauche). Le plus grand entier positif s'écrit 0111111111111111.
Le plus petit entier négatif est 1111111111111111
2. Les deux nombres sont identiques en valeur absolue et s'écrivent (7FFF)16= (32767)10 = 215 – 1.
3. Le complément à 1 s'obtient en complémentant tous les bits composants le nombre soit 1 000 0000 0000 0000. Le complément à 2 s'obtient en ajoutant 1 au complément à 1. On a ainsi 1 000 0000 0000 0001

Exercice 3.
Pour commencer il faut représenter chacun des nombres sur 8 bits, en utilisant le code CBN pour les nombres positifs et le code complément à 2 pour les nombres négatifs. Le résultat, si il est négatif, est obtenu en complément à 2 et on ne garde que les 8 premiers bits.
a.
Retenues 1 1 1 1 1 1 0 0
125 0 1 1 1 1 1 0 1
- 26 1 1 1 0 0 1 1 0

= 99 = 1 0 1 1 0 0 0 1 1


b. ↑ Débordement
Retenues 0 1 1 0 0 0 1 1
105 0 1 1 0 1 0 0 1
+ 35 0 0 1 0 0 0 1 1

= 140 = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 FAUX

c.
Retenues 0 0 0 0 0 0 0 0
40 0 0 1 0 1 0 0 0 - 60 1 1 0 0 0 1 0 0

= -20 = 0 1 1 1 0 1 1 0 0

d.
Retenues 1 0 0 1 0 0 0 0
- 38 1 1 0 1 1 0 1 0
- 96 1 0 0 1 0 0 0 1

=- 134 = 1 0 1 1 0 1 0 1 1 FAUX

Débordement

Compte tenu du nombre de bits le résultat de l’opération doit être compris entre – 127 et +127. En dehors de cette plage le résultat est nécessairement faux comme c’est le cas pour opérations b) et d). En pratique deux situations mènent à un résultat faux :
• Il y a une retenue du bit 7 vers le bit 8 et pas de retenue externe (ou débordement) (cas b)
• Il n’y a pas de retenue du bit 7 vers le bit 8 mais il y a une retenue externe (cas d)
Dans les deux cas le bit de signe est changé accidentellement.





EXOS 8
On considère le montage de la Figure 15.
1. Quelle est la fonction logique F réalisée par ce montage ?
2. Simplifier la fonction F (on peut utiliser indifféremment des tables de Karnaugh ou le théorème de De Morgan).
3. Proposer un montage plus simple permettant de réaliser la fonction F.

Figure 15



EXOS 9

Réaliser la fonction équivalence f = x ⊕ y= x • y+ x • y à l’aide de 4 portes logiques NOR uniquement.

EXOS 10
1 . Donner l’équation de la fonction logique F réalisée par le multiplexeur représenté sur la Figure 16.

Figure 16
2. A l’aide d’un multiplexeur à 2 entrées d’adresses, réaliser la fonction :

F = A• B •C + A• B •C + A• B •C
3. A l’aide d’un multiplexeur à 3 entrées d’adresses, réaliser la fonction

F = A• B •C • D + A• B •C • D + A• B •C • D + A• B •C • D + A• B •C • D + A• B •C • D
+ A• B •C • D + A• B •C • D




EXOS 12
En binaire, un chiffre décimal (compris entre 0 et 9) est codé sur 4 bits a b c d dans l’ordre des poids décroissants. Ce chiffre est visualisé sur un afficheur 7 segments représenté sur la Figure 17. Chaque segment est représenté par une lettre allant de A à G. Lors de l’affichage du chiffre 6 (respectivement 9) le segment A (respectivement D) est allumé.
1. Donner les expressions logiques, en fonction de a b c d , des fonctions logiques f et
A f valant 1 lorsque les segments A et D de l’afficheur sont allumés.
D
2. Simplifier les fonctions précédentes en utilisant des tables de Karnaugh.
3. Donner le schéma de la fonction f avec un minimum de portes NOR et NAND.
A
4. Donner le schéma de la fonction f en utilisant un multiplexeur à 3 entrées d’adresse.
D
A
FB
EC
D

Figure 17 Afficheur 7 segments.

3.6. Correction des exercices

Exercice 1
1. On lit directement la fonction à partir du logigramme

F=(C+A) •B•D+A•C•D+B
2. On simplifie en appliquant le théorème de Morgan puis les règles de calcul de l’algèbre de Boole


Cliquez ici pour télécharger la fiche complète 

Aucun commentaire:

Selection

DU NOUVEAU SUR EXOS UVCI               CLIQUEZ ICI POUR FAIRE LE TEST EXERCICES EN  ALGÈBRE NB:  tous les exercices sont c...

Autres articles du blog