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Exercices sur les variables aléatoires en probabilité





Exercice 1 :
Soit une variable aléatoire discrète associée à la loi de probabilité suivante. Calculer son espérance et sa variance.
xi
1
2
3
4
5
6
pi
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,5


Exercice 2 :
        Une variable aléatoire X est établie par la loi de probabilité suivante :
xi
-2
-1
0
1
2
3
p(X = xi )
0,3
0,05
0,1
0,05
0,2
p

Soit F sa fonction de répartition.

a)      Calculer p.
b)      Calculer F(0,5)
c)      Calculer E(X).
d)     Calculerσ(X) .

Exercice 3 :
        On tire 5 cartes au hasard dans un jeu de 32 cartes. On appelle cela une main.
     Si la main contient 4 rois on gagne 100 €, si la main contient 3 rois, on gagne 50 €, si la main contient 2 rois, on ne gagne rien et on ne perd rien, si la main contient 1 rois, on perd 10 € et si la main ne contient aucun roi, on perd 50 €.
        Soit X la variable aléatoire correspondant au gain.

a)      Etablir la loi de probabilité de X.
b)      Calculer l’espérance mathématique de X.

Exercice 4:
On lance deux dés triangulaires de couleurs distinctes à 4 faces numérotées de 1 à 4. Soit Y la
 variable aléatoire prenant pour valeur le résultat du dé bleu. Et X la variable aléatoire prenant pour valeur le résultat le plus grand.
a)   Quelle est la loi de probabilité conjointe de X et Y ?
b)  Quelles sont les lois marginales de X et de Y ?
c)   Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? Justifier votre réponse.  
Exercice 5 :
Pour la fonction définie sur l’intervalle[0;3]par f ( )x = kx, déterminer la valeur de k pour qu’elle soit une densité de probabilité.

Exercice 6 :
Partie A.
Soit X la variable aléatoire dont la fonction densité est définie sur IR+ par f ( )x = 4e4x      
a) Calculer F(5).
b) Calculer p(1< X < 3).

Partie B.
Pour la fonction suivante, définie sur l’intervalle[0;2], déterminer la valeur de k pour qu’elle soit une densité de probabilité.
f ( )x = kx3


CORRECTION


Exercice 1 :
E(X) =1×0.1+ 2×0.1+...+ 6×0.5 = 4.5
V(X) = 0.1×+ 0.1×+...+ 0.5×4.5² = 3.25

Exercice 2 :
        0.3+0.05+0.1+0.05+0.2+p=1 donc p=0.3
a)       F(0,5) = p(X 0.5) = 0.3+ 0.05+ 0.1= 0.45
b)       E(X) = 0.3×(2) + 0.05×(1) +...+ 0.3×3 = 0.7
V(X) = 0.3×(2)² + 0.05×(1)² +...+ 0.3×= 4.80.7² = 4.31 

c) 




Exercice 3 :          
a)   




Exercice 4:


 


b)  Voir tableau
c)   Les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendantes car par exemple








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