Exercices sur les variables aléatoires en probabilité

Exercice 1 :

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Soit une variable aléatoire discrète associée à la loi de probabilité suivante. Calculer son espérance et sa variance.

xi	1	2	3	4	5	6
pi	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,5

Exercice 2 :

        Une variable aléatoire X est établie par la loi de probabilité suivante :

xi	-2	-1	0	1	2	3
p(X = xi )	0,3	0,05	0,1	0,05	0,2	p

Soit F sa fonction de répartition.

a)      Calculer p.

b)      Calculer F(0,5)

c)      Calculer E(X).

d)     Calculerσ(X) .

Exercice 3 :

        On tire 5 cartes au hasard dans un jeu de 32 cartes. On appelle cela une main.

     Si la main contient 4 rois on gagne 100 €, si la main contient 3 rois, on gagne 50 €, si la main contient 2 rois, on ne gagne rien et on ne perd rien, si la main contient 1 rois, on perd 10 € et si la main ne contient aucun roi, on perd 50 €.

        Soit X la variable aléatoire correspondant au gain.

a)      Etablir la loi de probabilité de X.

b)      Calculer l’espérance mathématique de X.

Exercice 4:

On lance deux dés triangulaires de couleurs distinctes à 4 faces numérotées de 1 à 4. Soit Y la

 variable aléatoire prenant pour valeur le résultat du dé bleu. Et X la variable aléatoire prenant pour valeur le résultat le plus grand.

a)   Quelle est la loi de probabilité conjointe de X et Y ?

b)  Quelles sont les lois marginales de X et de Y ?

c)   Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? Justifier votre réponse.  

Exercice 5 :

Pour la fonction définie sur l’intervalle[0;3]par f ( )x = kx, déterminer la valeur de k pour qu’elle soit une densité de probabilité.

Exercice 6 :

Partie A.

Soit X la variable aléatoire dont la fonction densité est définie sur IR+ par f ( )x = 4e^−4x       . 

a) Calculer F(5).

b) Calculer p(1< X < 3).

Partie B.

Pour la fonction suivante, définie sur l’intervalle[0;2], déterminer la valeur de k pour qu’elle soit une densité de probabilité.

f ( )x = kx³

CORRECTION

Exercice 1 :

E(X) =1×0.1+ 2×0.1+...+ 6×0.5 = 4.5

V(X) = 0.1×1² + 0.1×2² +...+ 0.5×6² − 4.5² = 3.25

Exercice 2 :

        0.3+0.05+0.1+0.05+0.2+p=1 donc p=0.3

a)       F(0,5) = p(X ≤ 0.5) = 0.3+ 0.05+ 0.1= 0.45

b)       E(X) = 0.3×(−2) + 0.05×(−1) +...+ 0.3×3 = 0.7

V(X) = 0.3×(−2)² + 0.05×(−1)² +...+ 0.3×3² − 7² = 4.8− 0.7² = 4.31 

c) 

Exercice 3 :          

a)   

Exercice 4:

 

b)  Voir tableau

c)   Les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendantes car par exemple

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